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摘要：基於經驗模態分解(EMD)、小波法、最小二乘法分別研究了爆破震動測試信號中趨勢項的去除算法，並對三種方法去除趨勢項效果及重構信號的時頻特征進行對比分析。研究表明，小波法、最小二乘法去除測試信號趨勢項時需預先設置先驗的分解函數基，而EMD法在處理具有短時非平穩特性的爆破震動信號時具有自適應性，因此工程爆破震動測試信號預處理分析中采用EMD法能夠更為有效地消除趨勢項，提高信號時域和頻域分辨率，對準確提取爆破震動時頻特征具有重要參考價值。 

關鍵詞：爆破震動；趨勢項；經驗模態分解；最小二乘法；小波法 

震動測試過程中，由於放大器隨溫度變化產生的零點漂移、傳感器有效頻率範圍外低頻性能的不穩定性以及受傳感器周圍環境幹擾等因素，采樣數據中往往含有低頻直流分量和噪聲幹擾，導致測試信號的時程曲線偏離基線，有時偏離基線的大小還會隨時間變化，該過程在測試信號的趨勢項中得以體現。采樣數據中趨勢項產生的附加低頻成分降低了頻譜分析的精度，尤其對測試信號進行積分運算時，趨勢項的存在對變換結果影響更為突出^[1]。 

目前震動信號趨勢項去除方法主要有差分法、低通濾波法、最小二乘法^[2]、小波法^[3]、經驗模態分解法^[4]等。其中前三種方法通常需要預先假定信號中趨勢項的類型，如線性趨勢、多項式或指數趨勢等，要求對測試信號中包含趨勢項的特征具有一定的先驗知識；基於小波變換的趨勢項去除方法對小波基的選擇和分解深度的確定均有嚴格要求；基於EMD分解技術的趨勢項去除方法不用考慮趨勢項類型，具有較強的自適應性^[5]。 

爆破震動信號屬於典型的短時非平穩隨機震動信號^[6-8]，震動監測過程中由於測振係統本身固有的頻率下限、離散誤差等因素，導致爆破震動測試信號中包含有大量噪聲及低頻趨勢項，嚴重影響測試數據的準確性和可信度。為了更為精確地提取爆破震動測試信號中震動峰值和時頻特征等重要信息，必須在爆破震動信號預處理分析中探尋適宜於爆破震動測試信號趨勢項去除的方法，這將成為爆破震動效應分析領域中的重要內容。目前這方麵的研究尚無報道。

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本文基於三種非平穩隨機震動信號趨勢項去除算法，研究爆破震動測試信號中趨勢項的最佳去除方法。 

1 EMD法去除爆破震動信號趨勢項 

1.1 EMD去除趨勢項算法 

希爾伯特黃變換(HHT)是進行非平穩信號分析的重要技術，其中首先對測試信號進行經驗模態分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)。算法的主要思想是將待分析信號分解為一係列本征模態函數(IMF)^[9]： 

設待分析的震動測試信號為s(t)，IMF分量s_i(t) ，殘餘分量R(t)，則通過分解得到 

其中，n∈ Z⁺，表示EMD分解的階數。EMD算法實現主要包括以下步驟： 

首先找出s(t)上所有極值點，采用三次樣條函數對所有極值點進行插值，擬合出s(t)的上包絡曲線 S_max和下包絡曲線 S_min，按順序連接上下包絡線得到均值曲線m₁ (t)： 

m₁(t)=[ S_max(t)+S_min(t)]/2     (2)

再用s(t) 減去 m₁(t)得到h₁(t) ： 

h₁(t)= s(t)- h₁(t)        (3)

將h₁(t) 視作原始信號，重複k 次(2)~(3)式的過程，得到第 k次篩選的數據： 

h_1k(t) =h_1(k-1)(t) -m_1(k-1)(t)  (4)

通過連續兩次運算結果之間的標準差SD值作為判斷 是否為IMF分量的標準： 

經驗表明SD∈[0.2,0.3] 時，既可保證IMF的線性和穩定性，又可使IMF具有相應的物理意義^[9,10]。 

上述分解過程完全基於測試信號的局部特征進行，因此EMD分解過程是自適應的。 

EMD分解的收斂性使得分解得到的殘餘信號分量R_n(t)為單調函數，其中包含了測試信號中頻率最低的成分，其周期大於采樣信號的長度，所以R_n(t)即為測試信號中包含的趨勢項^[10]。

1.2基於EMD法的爆破震動測試信號趨勢項濾除

圖1為典型的爆破震動速度實測信號及相應功率譜分析。測試采用美國WHITE公司的Mini-Seis II 型數字式爆破地震波采集儀，測試係統頻率範圍2~500Hz，靈敏度0.5~29.0mm/s，采樣頻率1024Hz，奈奎斯特頻率512Hz。圖1(a)為前2000個采樣點的時程曲線，圖1(b)為測試信號的功率譜分析。

圖1(a)實測信號時程曲線存在明顯的零點漂移現象；分析圖1(b)功率譜曲線發現，爆破震動信號的頻率主要集中在0~200Hz範圍內，圖中對功率譜曲線低頻區域進行局部放大，可以清楚的觀察到0~2Hz範圍內具有較大幅值的低頻直流分量。因此，測試信號中趨勢項的存在嚴重降低了時程曲線波動特征的準確性和功率譜分析的分辨率，且對爆破震動信號時頻特征的提取及積分運算結果也會產生影響，必須去除。

1.2.1 基於EMD的爆破震動信號分解

根據(1)~(5)式的EMD算法，采用Matlab編程對圖1(a)中的爆破震動測試信號進行分解，所得的IMF分量及其對應的功率譜(PSD)分析如圖2所示。研究圖2可以發現：

(1) 按先分解高頻再分解低頻的順序，測試信號被成功分解為C1~C7及餘項R共8個IMF分量。C1頻率最高，波長最短，隨著分解繼續進行，IMF分量頻率逐漸變低、波長變長，直到分解到頻率最低的殘餘分量R。各個IMF分量分別以不同分辨率體現信號中該頻段範圍內的震動模態。

(2) 爆破震動信號的頻譜豐富，大部分信號分量集中在200Hz以下，其中優勢頻率集中在10~80Hz。C1的頻率最高，所占能量非常小，表明它是測試過程中包含的高頻噪聲，需要在分析過程中進行去噪。C2~C6屬於測試信號的優勢頻段，體現爆破震動主要的時頻特征和破壞效應。C7屬於測試信號中包含的低頻成分。餘量R頻率處於0~2Hz，所占能量很大，屬於低頻分量。

1.2.2 趨勢項去除效果分析

圖2 EMD分解結果中的餘量R體現了測試信號中包含的低頻直流分量，表征了爆破震動測試係統的零位漂移和測試信號偏離基線的微弱趨勢，屬於該爆破震動測試信號中包含的趨勢項。因此，去掉R項，采用分量IMF(1~7)組合後進行爆破震動信號重構。圖3(a)為趨勢項去除之後的爆破震動信號，時程曲線峰值為1.4845mm/s。圖3(b)為其功率譜分析，PSD峰值為2.4450，主頻率39Hz。

圖3(a)與圖1(a)對比分析可以看出，經過EMD分解去除趨勢項後的爆破震動信號波形中的零點漂移現象已經成功消除。圖3(b)與圖1(b)對比分析可看出，低頻直流分量也已成功濾除，同時發現去除趨勢項之後的功率譜圖3(b)相對於原爆破震動測試信號的功率譜分析圖1(b)而言可更為清晰、準確地識別該信號PSD圖的峰值、主頻及分布規律。

2 小波法去除爆破震動信號趨勢項

2.1 離散小波變換去除趨勢項算法

設震動信號s(t) 的離散采樣序列為s(n),( n∈N)。根據小波變換原理，s(t) 的離散二進小波分解為：

重構算法為：

式中：h(n) 為低通濾波器，g(n) 為高通濾波器，D_j和C_j 分別為信號在尺度 j上的細節部分和近似部分，分別包含信號中的高頻和低頻信息。

由上述算法可知，小波分解過程隻對C_j部分進行遞歸分解，因此小波算法可用於提取采樣信號中的低頻趨勢項。對震動測試信號小波分解,將低頻趨勢項置0後進行信號重構，可得到去除趨勢項後的信號。

2.2 基於小波變換的爆破震動信號分解

應用小波技術分析處理爆破震動信號，首先必須針對爆破震動信號特點，選擇適宜的小波基函數。實際應用表明，db5~db8比較適合爆破震動信號的分析與處理。小波分解過程中發現當分解深度j=6 時，趨勢項已經被明顯地分離出來。考慮到本次爆破震動測試采用Mini-Seis II 型數字式爆破地震波采集儀的頻率下限為2Hz，當小波分解層數j=8時,逼近分量的帶寬為[0,512/2⁸]=[0,2] Hz。因此本文分別采用db5、db6、db7、db8對測試數據進行小波分解，研究分解層數j= 6，7，8時趨勢項的去除效果。圖4為采用db8，j=6時小波分解及相應分量的功率譜分析。分析圖4可以看出，震動分量頻率隨著d1~d6~R依次降低，表征了爆破震動信號中不同頻帶範圍內震動分量的時程特性。餘項R頻率最低，幅值很高，屬於測試信號中包含的低頻趨勢項。

2.3 趨勢項去除效果分析

在小波分解的基礎上，將低頻殘餘分量R置於0之後進行小波重構可得到去除趨勢項之後的爆破震動信號。圖5為基於小波法去除爆破震動測試信號趨勢項後的信號重構圖及頻譜分析曲線。從圖5中可以看出，小波法成功去除了零點漂移和功率譜曲線中的低頻直流分量。

表1為基於四個小波基在三種不同分解層次條件下去除趨勢項後重構信號及趨勢項的PSD峰值及主頻特征。分析表1數據發現，雖然四種不同小波基在三個層次的小波分解基礎上去除趨勢項後的重構信號主頻均為39Hz，提取趨勢項的主頻為1Hz；但重構信號PSD峰值處於[2.4225,2.4534]內變化，趨勢項PSD峰值處於[9.6839,9.8477]內變化。不同小波基與原始信號形狀的差異和分解層次的不同導致小波係數的差異，從而直接影響到震動測試信號中趨勢項分量的提取。

3 最小二乘法去除爆破震動信號趨勢項

3.1 最小二乘法去除趨勢項原理

設實測爆破震動信號的采樣序列為{S_k}(k=1,2,3,……,n)，由於采樣數據是等間隔的，為簡化運算，設采樣時間間隔△T=1，設定存在某多項式函數用於逼近采樣序列{S_k} ，

須確定待定係數a_j(j=0,1,2, ……, m)，使得逼近函數與采樣數據S_k 之間的誤差平方和E 最小，即

令E 對a_i 的偏導數為零，可產生m+1 元線性方程組：

通過求解方程組(10)，可得到m+1 個待定係數a_j 。其中，m 為多項式的階次j∈[0,m]^[2]。

則消除趨勢項的計算公式為：

3.2 趨勢項去除效果及影響因素分析

根據式(8)~(11)，采用Matlab工具箱中多項式趨勢項消除函數進行爆破震動采樣序列趨勢項的提取和去除。利用polyfit函數求出最小二乘法擬合多項式中的待定係數，帶入polyval函數得出震動信號多項式趨勢項去除後的數據。

圖6為采用最小二乘法(m=2 時)去除圖1(a)中爆破震動測試信號中趨勢項後的爆破震動時程曲線及相應的功率譜分析圖。從圖6中可以看出，采用最小二乘法已經成功去除了原測試信號中趨勢項的影響。

表2為采用最小二乘法去除趨勢項過程中，不同擬合階次m對趨勢項去除效果影響的對比分析。不同擬合階次的最小二乘法去除趨勢項後的重構信號的主頻均為39Hz，提取趨勢項的主頻均為1Hz，但是不同的擬合精度對PSD圖的峰值有所不同，重構信號的峰值處於[2.4366,2.4571]，趨勢項的峰值處於[9.7023,9.8334]內變化，而並不確定。因此多項式擬合階次m對趨勢項去除後重構信號的精度具有一定影響。

4  對比分析

對上述三種方法在爆破震動測試信號趨勢項去除效果進行對比分析：

(1) 從時程曲線特征分析看來，采用EMD法去除趨勢項後重構信號圖3(a)、采用小波法去除趨勢項後重構信號圖5(a)、采用最小二乘法去除趨勢項後重構信號圖6(a)相對於原爆破震動測試信號圖1(a)而言，三種方法均成功消除了零點漂移現象；從功率譜分析看來，采用EMD法去除趨勢項後重構信號PSD圖3(b)、采用小波法去除趨勢項後重構信號PSD圖5(b)、采用最小二乘法去除趨勢項後重構信號PSD圖6(b)相對於原爆破震動測試信號的PSD圖1(b)而言，三種方法均成功濾除了功率譜圖中的低頻直流分量，而且去除趨勢項之後的重構信號的主頻均為39Hz、趨勢項的主頻均為1Hz。因此上述三種方法在爆破震動信號趨勢項去除後從時域、頻域特征方麵的效果表明，三種方法均能去除爆破震動測試信號中包含的趨勢項分量。

(2) 小波法去除趨勢項的應用表明，小波基和分解深度的確定都對趨勢項的去除效果有一定影響，見表1。主要原因在於小波分解采用小波基與采樣序列做卷積[11]，提取的小波係數與小波基的形狀和分解深度相關，直接影響到分解後餘項的提取，所以采用小波法去除趨勢項，必須對信號特征進行準確分析的基礎上選擇與信號特征最為相近的小波基，並根據測試係統的頻率下限確定合理的分解深度。最小二乘法去除趨勢項的應用表明，多項式階次的選擇也影響到趨勢項去除後重構信號的峰值以及PSD圖的峰值，原因在於選擇不同的 值關係到采用不同的擬合精度對采樣數據進行逼近，所以采用最小二乘法去除趨勢項必須預先知道測試信號中包含趨勢項的類型。因此采用小波法和最小二乘法去除趨勢項均需要具有一定的先驗知識，才能更為準確地提取和去除爆破震動測試信號中包含的趨勢項。

(3) EMD分解原理表明，其分解過程完全根據采樣數據本身的局部特征進行，具有自適應性，與小波法、最小二乘法相比EMD法不需要任何先驗知識，根據分解結果去除趨勢項後對其餘IMF分量進行重構後即可消除零點漂移和直流分量對測試數據帶來的影響，此方法方便、有效。

5  結論

(1) 分別采用EMD法、小波法、最小二乘法去除爆破震動測試信號中由於測試係統原因導致的趨勢項，重構信號的時程特征和頻率特征分析表明，三種方法均能消除測試信號中存在的零點漂移和直流分量，提高了測試信號精度和頻譜分析的分辨率，對準確提取爆破震動信號時頻特征具有重要意義。

(2) 對比分析表明，小波法去除趨勢項效果與小波基的選擇和深度的選取有關；最小二乘法去除趨勢項效果與多項式階次選擇有關，二者均需要對爆破震動信號時頻特征具有一定的先驗知識，才能預先設置準確的小波基函數或選取多項式階次。EMD法能夠根據測試信號局部特征自適應地實現對測試信號的分解和趨勢項的去除，比最小二乘法和小波法更為實用、靈活。

(3) 工程爆破中震動監測數據具有短時非平穩特性，對比分析表明，采用EMD法能夠更為方便、有效地去除測試數據中趨勢項，提高爆破震動測試信號時程特性的準確率和頻譜分析的分辨率，在爆破震動信號預處理分析中具有重要參考價值。

參考文獻

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