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摘要：基于经验模态分解(EMD)、小波法、最小二乘法分别研究了爆破震动测试信号中趋势项的去除算法，并对三种方法去除趋势项效果及重构信号的时频特征进行对比分析。研究表明，小波法、最小二乘法去除测试信号趋势项时需预先设置先验的分解函数基，而EMD法在处理具有短时非平稳特性的爆破震动信号时具有自适应性，因此工程爆破震动测试信号预处理分析中采用EMD法能够更为有效地消除趋势项，提高信号时域和频域分辨率，对准确提取爆破震动时频特征具有重要参考价值。 

关键词：爆破震动；趋势项；经验模态分解；最小二乘法；小波法 

震动测试过程中，由于放大器随温度变化产生的零点漂移、传感器有效频率范围外低频性能的不稳定性以及受传感器周围环境干扰等因素，采样数据中往往含有低频直流分量和噪声干扰，导致测试信号的时程曲线偏离基线，有时偏离基线的大小还会随时间变化，该过程在测试信号的趋势项中得以体现。采样数据中趋势项产生的附加低频成分降低了频谱分析的精度，尤其对测试信号进行积分运算时，趋势项的存在对变换结果影响更为突出^[1]。 

目前震动信号趋势项去除方法主要有差分法、低通滤波法、最小二乘法^[2]、小波法^[3]、经验模态分解法^[4]等。其中前三种方法通常需要预先假定信号中趋势项的类型，如线性趋势、多项式或指数趋势等，要求对测试信号中包含趋势项的特征具有一定的先验知识；基于小波变换的趋势项去除方法对小波基的选择和分解深度的确定均有严格要求；基于EMD分解技术的趋势项去除方法不用考虑趋势项类型，具有较强的自适应性^[5]。 

爆破震动信号属于典型的短时非平稳随机震动信号^[6-8]，震动监测过程中由于测振系统本身固有的频率下限、离散误差等因素，导致爆破震动测试信号中包含有大量噪声及低频趋势项，严重影响测试数据的准确性和可信度。为了更为精确地提取爆破震动测试信号中震动峰值和时频特征等重要信息，必须在爆破震动信号预处理分析中探寻适宜于爆破震动测试信号趋势项去除的方法，这将成为爆破震动效应分析领域中的重要内容。目前这方面的研究尚无报道。

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本文基于三种非平稳随机震动信号趋势项去除算法，研究爆破震动测试信号中趋势项的最佳去除方法。 

1 EMD法去除爆破震动信号趋势项 

1.1 EMD去除趋势项算法 

希尔伯特黄变换(HHT)是进行非平稳信号分析的重要技术，其中首先对测试信号进行经验模态分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)。算法的主要思想是将待分析信号分解为一系列本征模态函数(IMF)^[9]： 

设待分析的震动测试信号为s(t)，IMF分量s_i(t) ，残余分量R(t)，则通过分解得到 

其中，n∈ Z⁺，表示EMD分解的阶数。EMD算法实现主要包括以下步骤： 

首先找出s(t)上所有极值点，采用三次样条函数对所有极值点进行插值，拟合出s(t)的上包络曲线 S_max和下包络曲线 S_min，按顺序连接上下包络线得到均值曲线m₁ (t)： 

m₁(t)=[ S_max(t)+S_min(t)]/2     (2)

再用s(t) 减去 m₁(t)得到h₁(t) ： 

h₁(t)= s(t)- h₁(t)        (3)

将h₁(t) 视作原始信号，重复k 次(2)~(3)式的过程，得到第 k次筛选的数据： 

h_1k(t) =h_1(k-1)(t) -m_1(k-1)(t)  (4)

通过连续两次运算结果之间的标准差SD值作为判断 是否为IMF分量的标准： 

经验表明SD∈[0.2,0.3] 时，既可保证IMF的线性和稳定性，又可使IMF具有相应的物理意义^[9,10]。 

上述分解过程完全基于测试信号的局部特征进行，因此EMD分解过程是自适应的。 

EMD分解的收敛性使得分解得到的残余信号分量R_n(t)为单调函数，其中包含了测试信号中频率最低的成分，其周期大于采样信号的长度，所以R_n(t)即为测试信号中包含的趋势项^[10]。

1.2基于EMD法的爆破震动测试信号趋势项滤除

图1为典型的爆破震动速度实测信号及相应功率谱分析。测试采用美国WHITE公司的Mini-Seis II 型数字式爆破地震波采集仪，测试系统频率范围2~500Hz，灵敏度0.5~29.0mm/s，采样频率1024Hz，奈奎斯特频率512Hz。图1(a)为前2000个采样点的时程曲线，图1(b)为测试信号的功率谱分析。

图1(a)实测信号时程曲线存在明显的零点漂移现象；分析图1(b)功率谱曲线发现，爆破震动信号的频率主要集中在0~200Hz范围内，图中对功率谱曲线低频区域进行局部放大，可以清楚的观察到0~2Hz范围内具有较大幅值的低频直流分量。因此，测试信号中趋势项的存在严重降低了时程曲线波动特征的准确性和功率谱分析的分辨率，且对爆破震动信号时频特征的提取及积分运算结果也会产生影响，必须去除。

1.2.1 基于EMD的爆破震动信号分解

根据(1)~(5)式的EMD算法，采用Matlab编程对图1(a)中的爆破震动测试信号进行分解，所得的IMF分量及其对应的功率谱(PSD)分析如图2所示。研究图2可以发现：

(1) 按先分解高频再分解低频的顺序，测试信号被成功分解为C1~C7及余项R共8个IMF分量。C1频率最高，波长最短，随着分解继续进行，IMF分量频率逐渐变低、波长变长，直到分解到频率最低的残余分量R。各个IMF分量分别以不同分辨率体现信号中该频段范围内的震动模态。

(2) 爆破震动信号的频谱丰富，大部分信号分量集中在200Hz以下，其中优势频率集中在10~80Hz。C1的频率最高，所占能量非常小，表明它是测试过程中包含的高频噪声，需要在分析过程中进行去噪。C2~C6属于测试信号的优势频段，体现爆破震动主要的时频特征和破坏效应。C7属于测试信号中包含的低频成分。余量R频率处于0~2Hz，所占能量很大，属于低频分量。

1.2.2 趋势项去除效果分析

图2 EMD分解结果中的余量R体现了测试信号中包含的低频直流分量，表征了爆破震动测试系统的零位漂移和测试信号偏离基线的微弱趋势，属于该爆破震动测试信号中包含的趋势项。因此，去掉R项，采用分量IMF(1~7)组合后进行爆破震动信号重构。图3(a)为趋势项去除之后的爆破震动信号，时程曲线峰值为1.4845mm/s。图3(b)为其功率谱分析，PSD峰值为2.4450，主频率39Hz。

图3(a)与图1(a)对比分析可以看出，经过EMD分解去除趋势项后的爆破震动信号波形中的零点漂移现象已经成功消除。图3(b)与图1(b)对比分析可看出，低频直流分量也已成功滤除，同时发现去除趋势项之后的功率谱图3(b)相对于原爆破震动测试信号的功率谱分析图1(b)而言可更为清晰、准确地识别该信号PSD图的峰值、主频及分布规律。

2 小波法去除爆破震动信号趋势项

2.1 离散小波变换去除趋势项算法

设震动信号s(t) 的离散采样序列为s(n),( n∈N)。根据小波变换原理，s(t) 的离散二进小波分解为：

重构算法为：

式中：h(n) 为低通滤波器，g(n) 为高通滤波器，D_j和C_j 分别为信号在尺度 j上的细节部分和近似部分，分别包含信号中的高频和低频信息。

由上述算法可知，小波分解过程只对C_j部分进行递归分解，因此小波算法可用于提取采样信号中的低频趋势项。对震动测试信号小波分解,将低频趋势项置0后进行信号重构，可得到去除趋势项后的信号。

2.2 基于小波变换的爆破震动信号分解

应用小波技术分析处理爆破震动信号，首先必须针对爆破震动信号特点，选择适宜的小波基函数。实际应用表明，db5~db8比较适合爆破震动信号的分析与处理。小波分解过程中发现当分解深度j=6 时，趋势项已经被明显地分离出来。考虑到本次爆破震动测试采用Mini-Seis II 型数字式爆破地震波采集仪的频率下限为2Hz，当小波分解层数j=8时,逼近分量的带宽为[0,512/2⁸]=[0,2] Hz。因此本文分别采用db5、db6、db7、db8对测试数据进行小波分解，研究分解层数j= 6，7，8时趋势项的去除效果。图4为采用db8，j=6时小波分解及相应分量的功率谱分析。分析图4可以看出，震动分量频率随着d1~d6~R依次降低，表征了爆破震动信号中不同频带范围内震动分量的时程特性。余项R频率最低，幅值很高，属于测试信号中包含的低频趋势项。

2.3 趋势项去除效果分析

在小波分解的基础上，将低频残余分量R置于0之后进行小波重构可得到去除趋势项之后的爆破震动信号。图5为基于小波法去除爆破震动测试信号趋势项后的信号重构图及频谱分析曲线。从图5中可以看出，小波法成功去除了零点漂移和功率谱曲线中的低频直流分量。

表1为基于四个小波基在三种不同分解层次条件下去除趋势项后重构信号及趋势项的PSD峰值及主频特征。分析表1数据发现，虽然四种不同小波基在三个层次的小波分解基础上去除趋势项后的重构信号主频均为39Hz，提取趋势项的主频为1Hz；但重构信号PSD峰值处于[2.4225,2.4534]内变化，趋势项PSD峰值处于[9.6839,9.8477]内变化。不同小波基与原始信号形状的差异和分解层次的不同导致小波系数的差异，从而直接影响到震动测试信号中趋势项分量的提取。

3 最小二乘法去除爆破震动信号趋势项

3.1 最小二乘法去除趋势项原理

设实测爆破震动信号的采样序列为{S_k}(k=1,2,3,……,n)，由于采样数据是等间隔的，为简化运算，设采样时间间隔△T=1，设定存在某多项式函数用于逼近采样序列{S_k} ，

须确定待定系数a_j(j=0,1,2, ……, m)，使得逼近函数与采样数据S_k 之间的误差平方和E 最小，即

令E 对a_i 的偏导数为零，可产生m+1 元线性方程组：

通过求解方程组(10)，可得到m+1 个待定系数a_j 。其中，m 为多项式的阶次j∈[0,m]^[2]。

则消除趋势项的计算公式为：

3.2 趋势项去除效果及影响因素分析

根据式(8)~(11)，采用Matlab工具箱中多项式趋势项消除函数进行爆破震动采样序列趋势项的提取和去除。利用polyfit函数求出最小二乘法拟合多项式中的待定系数，带入polyval函数得出震动信号多项式趋势项去除后的数据。

图6为采用最小二乘法(m=2 时)去除图1(a)中爆破震动测试信号中趋势项后的爆破震动时程曲线及相应的功率谱分析图。从图6中可以看出，采用最小二乘法已经成功去除了原测试信号中趋势项的影响。

表2为采用最小二乘法去除趋势项过程中，不同拟合阶次m对趋势项去除效果影响的对比分析。不同拟合阶次的最小二乘法去除趋势项后的重构信号的主频均为39Hz，提取趋势项的主频均为1Hz，但是不同的拟合精度对PSD图的峰值有所不同，重构信号的峰值处于[2.4366,2.4571]，趋势项的峰值处于[9.7023,9.8334]内变化，而并不确定。因此多项式拟合阶次m对趋势项去除后重构信号的精度具有一定影响。

4  对比分析

对上述三种方法在爆破震动测试信号趋势项去除效果进行对比分析：

(1) 从时程曲线特征分析看来，采用EMD法去除趋势项后重构信号图3(a)、采用小波法去除趋势项后重构信号图5(a)、采用最小二乘法去除趋势项后重构信号图6(a)相对于原爆破震动测试信号图1(a)而言，三种方法均成功消除了零点漂移现象；从功率谱分析看来，采用EMD法去除趋势项后重构信号PSD图3(b)、采用小波法去除趋势项后重构信号PSD图5(b)、采用最小二乘法去除趋势项后重构信号PSD图6(b)相对于原爆破震动测试信号的PSD图1(b)而言，三种方法均成功滤除了功率谱图中的低频直流分量，而且去除趋势项之后的重构信号的主频均为39Hz、趋势项的主频均为1Hz。因此上述三种方法在爆破震动信号趋势项去除后从时域、频域特征方面的效果表明，三种方法均能去除爆破震动测试信号中包含的趋势项分量。

(2) 小波法去除趋势项的应用表明，小波基和分解深度的确定都对趋势项的去除效果有一定影响，见表1。主要原因在于小波分解采用小波基与采样序列做卷积[11]，提取的小波系数与小波基的形状和分解深度相关，直接影响到分解后余项的提取，所以采用小波法去除趋势项，必须对信号特征进行准确分析的基础上选择与信号特征最为相近的小波基，并根据测试系统的频率下限确定合理的分解深度。最小二乘法去除趋势项的应用表明，多项式阶次的选择也影响到趋势项去除后重构信号的峰值以及PSD图的峰值，原因在于选择不同的 值关系到采用不同的拟合精度对采样数据进行逼近，所以采用最小二乘法去除趋势项必须预先知道测试信号中包含趋势项的类型。因此采用小波法和最小二乘法去除趋势项均需要具有一定的先验知识，才能更为准确地提取和去除爆破震动测试信号中包含的趋势项。

(3) EMD分解原理表明，其分解过程完全根据采样数据本身的局部特征进行，具有自适应性，与小波法、最小二乘法相比EMD法不需要任何先验知识，根据分解结果去除趋势项后对其余IMF分量进行重构后即可消除零点漂移和直流分量对测试数据带来的影响，此方法方便、有效。

5  结论

(1) 分别采用EMD法、小波法、最小二乘法去除爆破震动测试信号中由于测试系统原因导致的趋势项，重构信号的时程特征和频率特征分析表明，三种方法均能消除测试信号中存在的零点漂移和直流分量，提高了测试信号精度和频谱分析的分辨率，对准确提取爆破震动信号时频特征具有重要意义。

(2) 对比分析表明，小波法去除趋势项效果与小波基的选择和深度的选取有关；最小二乘法去除趋势项效果与多项式阶次选择有关，二者均需要对爆破震动信号时频特征具有一定的先验知识，才能预先设置准确的小波基函数或选取多项式阶次。EMD法能够根据测试信号局部特征自适应地实现对测试信号的分解和趋势项的去除，比最小二乘法和小波法更为实用、灵活。

(3) 工程爆破中震动监测数据具有短时非平稳特性，对比分析表明，采用EMD法能够更为方便、有效地去除测试数据中趋势项，提高爆破震动测试信号时程特性的准确率和频谱分析的分辨率，在爆破震动信号预处理分析中具有重要参考价值。

参考文献

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